Resposta correta do desafio de abril de 2012 (no formato enviado por Rodrigo Felipe):

Seja X a quantidade inicial de dinheiro que o sobrinho tinha. No primeiro lugar, ele gasta X/2+1, saindo de lá com:

Y = X - (X/2+1) = X/2-1 (I) //dinheiro ao sair do primeiro lugar

No segundo lugar, ele gasta Y/2+1, saindo de lá com:

Z = Y - (Y/2+1) = Y/2-1 (II) //dinheiro ao sair do segundo lugar

No terceiro lugar, ele gasta Z/2+1, saindo de lá com:

W = Z - (Z/2+1) = Z/2-1 (III) //dinheiro ao sair do terceiro lugar

Como não houve troco, ao sair do terceiro lugar, o sobrinho não tinha mais dinheiro, ou seja, W = 0.

De (III): Z/2-1 = 0 --> Z = 2

De (II): Y/2-1 = 2 --> Y = 6

De (I): X/2-1 = 6 --> X = 14

Então, Joseana deu 14 reais a seu sobrinho.

Resposta correta do desafio de fevereiro de 2012 (no formato enviado por Felipe Diniz):

(1) - Analisando a frase "Cássio, eu acho que não sabemos quais são os números". Então Breno com seu numero S, tentando decompor em S=A+B, reparou que todas as combinações de A e B levavam a A e B não primos, pois se ambos fossem primos Cássio saberia os números.

Os únicos números impares que não satisfazem (1) são da forma p+2, onde p é um número primo. Se o número for par a conjectura de Goldbach fala que, garantidamente, é soma de 2 primos, logo, não satisfazendo (1). A conjectura de Goldbach já foi testada até grandes números pares, porém não é garantidamente verdadeira.

Testando valores para S, o menor que satisfaz é S=11 (9,2 / 7,4 / 6,5)

(2) - A resposta de Cássio foi “Aha! Agora eu sei quais são os números!”. Então, Cássio sabia que o número S levava a somente decomposição com ambos sem ser números primos. Então, vendo todas as fatorações do seu número P, somente em um dos casos a soma deles tinha propriedade (1).

Testando os valores para P (no caso S=11):

P=9*2=18, que tem as possíveis fatorações 9,2 / 6,3, que leva às somas 11 e 9. 9 possui decomposição 7,2, logo, não satisfaz (1), satisfaz (2).

P=7*4=28, que tem as possíveis fatorações 7,4 / 14,2, que leva às somas 11 e 16. 16 possui decomposição 13,3, logo, não satisfaz (1), satisfaz (2).

P=6*5=30, que tem as possíveis fatorações 6,5 / 15,2 / 3,10, que leva às somas 11, 17, 13. 13 possui a decomposição 11 e 2, logo, satisfaz (1). 17 possui as decomposições 15,2 / 14,3 / 13, 4 / 12, 5 / 11,6 / 10,7 / 9,8, sem restrições quanto a (1), porém, como 11 e 17 são válidos, então não satisfaz (2).

(3) - A terceira frase é do Breno “Ahhh! Agora eu sei quais são os números!”. Isso quer dizer que, entre as decomposições do número S, somente uma satisfaz a condição (2). Logo, S=11 não é válido, pois P=28 e P=18 satisfazem.

Fazendo novamente os testes, o primeiro número após 11 que satisfaz (1) é 17 com as decomposições 15,2 / 14,3 / 13, 4 / 12, 5 / 11,6 / 10, 7/ 9,8.

Testando valores para P:

P=14*3=42, com fatorações 14,3 / 21,2 / 7,6, que leva às somas 17, 23, 13. 13 possui decomposição 11,2, não satisfazendo (1). Como 17 e 23 são válidos quanto a (1), então P=42 não satisfaz (2).

P=13*4=52 com fatorações 13,4 / 26,2, que leva às somas 17 e 28. 28 possui decomposição 23,5, que não satisfaz (1), satisfaz (2).

P=12*5=60 com fatorações 12,5 / 6,10 / 3,20 / 4,15 / 2,30, que leva às somas 17, 16, 23, 19, 32. 16 possui decomposição 13,3, não satisfazendo (1). Como 17 e 23 são válidos quanto a (1), então P=42 não satisfaz (2).

P=11*6=66 com fatorações 11,6 / 22,3 / 33,2, que leva às somas 17, 25, 35. 25 possui decomposição 23,2 não satisfaz (1). Como 17 e 35 são válidos quanto a (1), então P=66 não satisfaz (2).

P=10*7=70 com fatorações 10,7 / 35,2 / 5,14, que leva às somas 17, 19, 37. 19 possui decomposição 17,2, não satisfazendo (1). Como 17 e 37 são válidos quanto a (1), então P=70 não satisfaz (2).

P=9*8=72 com fatorações 9,8 / 3,24 / 18,4 / 36,2/ 6,12, que leva às somas 17, 18, 27, 22, 38. Como 17 e 27 são válidos quanto a (1), então P=72 não é válido quando a (2).

Como somente P=52 satisfaz (2), então S=17 satisfaz (3).

Logo, os números são 13 e 4.